犯罪嫌疑人可以在 被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起聘请律师。具体来说，有以下几种情况：
侦查机关第一次讯问或采取强制措施时：
犯罪嫌疑人自被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施（如拘传、拘留、逮捕、取保候审、监视居住等）之日起，有权委托辩护人。
人民检察院收到案件材料后三日以内：
人民检察院自收到移送审查起诉的案件材料之日起三日以内，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。
人民法院受理案件后三日以内：
人民法院自受理案件之日起三日以内，应当告知被告人有权委托辩护人。
综上所述，犯罪嫌疑人可以在被侦查机关第一次讯问或采取强制措施后尽快聘请律师，以便及时获得法律帮助和保护自己的合法权益。